Question

若数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则an/n的最小值是多少？

如何用导数知识解决

Answer 1

解：你先求通项。
a(n) = [a(n) - a(n-1)] + [a(n) - a(n-1)] + ... + [a(2) - a(1)] + a(1)
= 2 [(n-1) + (n-2) + ... + 2] + 33
= (n+1)(n-2) + 33，
求导很容易，你就把数列看成是n的函数就好了 （对应 a(x)/x = [(x+1)(x-2) + 33]/x）
a'(n) = n-2 + n + 1 + 33 = 2n + 32.
于是 (a(n)/n)' = {(2n+32)n - [(n+1)(n-2) + 33]}/n^2，所以导数的正负全看分子了：
(2n+32)n - [(n+1)(n-2) + 33]
= 2n^2 + 32n - n^2 + n - 31
= n^2 + 33n - 31，到这里其实很明显了，由于n至少为1，所以导数总是正的。因此，
a(n)/n的最小值就在n=1取到，最小值为 a1 = 33.
注明：上面求导的过程到最后你应该全部写成 x 的，写成n原则上不对，考试的时候记得写成x啊。

Answer 2

解：你先求通项。
a(n) = [a(n) - a(n-1)] + [a(n) - a(n-1)] + ... + [a(2) - a(1)] + a(1)
= 2 [(n-1) + (n-2) + ... + 2] + 33
= (n+1)(n-2) + 33，
求导很容易，你就把数列看成是n的函数就好了 （对应 a(x)/x = [(x+1)(x-2) + 33]/x）
a'(n) = n-2 + n + 1 + 33 = 2n + 32.
于是 (a(n)/n)' = {(2n+32)n - [(n+1)(n-2) + 33]}/n^2，所以导数的正负全看分子了：
(2n+32)n - [(n+1)(n-2) + 33]
= 2n^2 + 32n - n^2 + n - 31
= n^2 + 33n - 31，到这里其实很明显了，由于n至少为1，所以导数总是正的。因此，
a(n)/n的最小值就在n=1取到，最小值为 a1 = 33.
答案：33.
PS: 上面求导的过程到最后你应该全部写成 x 的，写成n原则上不对，考试的时候记得写成x啊。

Answer 3

推荐答案明显错了。通项公式是an=n^2-n+33 用连加法算，细心点可以做出来！后面an/n=n+33/n+1 不要用基本不等式。因为漏解，个人建议用对勾函数，5≤根号33≤6.最后算出来n=6取最小值。。我算出来等于10.5，不知道对不对！

Answer 4

an=33+n(n-1)
an/n=33/n+n-1≥2√(33)-1