Question

已知：如图，P是⊙O直径AB延长线上一点，过P的直线交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E。 ⑴

已知：如图，P是⊙O直径AB延长线上一点，过P的直线交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E。 ⑴ 求证：PC·PD=PO·PE；⑵ 若DE⊥CF，∠P=15 0 ，⊙O的半径为2，求弦CF的长

Answer 1

（1）证明略 （2）

(1) 证明：连结DO， ∵直径AB⊥DF，  ∴ AD=AF ∴∠DOA=∠DCF ∵∠DOP+∠DOA=180 O     ， ∠PCE+∠DCF=180 O   ∴ ∠DOP=∠ECP……（2分） ∵∠P=∠P ∴ΔPOD∽ΔPCE  ∴   即PC·PD=PO·PE……（2分） （2）解：∵直径AB⊥DF，∴ DH="FH  " ∴ ED=EF ∴ EH平分∠DEF ∵ DE⊥CF ∴ ∠DEC=∠DEF=90 O ∴ ∠FEH=45 O    ∠CEP=45 O ∵ ∠DCE=∠P+∠CEP=15 O +45 O =60 O ∴ ∠DOH=60 O 　　　　　　　　　　……（2分） 在RtΔDOH中，由sin60 O = ∴ DH=        ∴ DH= ∵    ∴ ∴ 　　　　　　　……（2分） 在RtΔDCF中，由 　　　　∴　 　　　　∴　 　……（1分）