Question

已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x 2 -2x．（1）求f（x）的解析式；（2）作出函数f（

已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x 2 -2x．（1）求f（x）的解析式；（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间．（不需要严格证明）

Answer 1

（1）∵y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x 2 -2x， 当x＜0时，-x＞0， f（-x）=（-x） 2 -2（-x）=x 2 +2x， ∴f（x）=f（-x）=x 2 +2x， ∴f（x）= x 2 -2x，x≥0 x 2 +2x，x＜0 ． （2）∵f（x）= x 2 -2x，x≥0 x 2 +2x，x＜0 ， ∴当x≥0时，y=x 2 -2x，抛物线开口向上，对称轴方程为x=1，顶点坐标（1，-1）， 当y=0时，x 1 =0，x 2 =2；当x=0时，y=0． 当x＜0时，y=x 2 +2x，抛物线开口向上，对称轴方程为x=-1，顶点坐标（-1，-1）， 当y=0时，x=-2． 由此能作出函数f（x）的图象如下： 结合图象，知f（x）的增区间是（-1，0），（1，+∞）；减区间是（-∞，-1），（0，1）．