Question

如图所示，半径为R的 1 4 的光滑圆弧轨道竖直放置，底端与光滑的水平轨道相接，质量为m 2 的

如图所示，半径为R的 1 4 的光滑圆弧轨道竖直放置，底端与光滑的水平轨道相接，质量为m 2 的小球B静止光滑水平轨道上，其左侧连接了一轻质弹簧，质量为m 1 的小球A自圆弧轨道的顶端由静止释放，重力加速度为g，试求：（1）小球A撞击轻质弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能为多少？（2）要使小球A与小球B能发生二次碰撞，m 1 与m 2 应满足什么关系？

Answer 1

（1）设A球到达圆弧底端时的速度为v 0 ， 根据机械能守恒定律有： mgR= 1 2 m v 20    ①， 当A、B两球速度相同时，弹簧的弹性势能最大，设共同速度为v 根据动量守恒定律有：m 1 v 0 =（m 1 +m 2 ）v  ②， 根据机械能守恒定律有： E Pm = 1 2 m 1 v 20 - 1 2 ( m 1 + m 2 ) v 2   ③， 联立①②③解得： E Pm = m 1 m 2 m 1 + m 2 gR ，④ （2）设A、B碰撞后的速度分别为v 1 和v 2 ， 根据动量守恒定律有：m 1 v 0 =m 1 v 1 +m 2 v 2 ⑤， 根据机械能守恒定律有： 1 2 m 1 v 20 = 1 2 m 1 v 21 + 1 2 m 2 v 22    ⑥， 联立⑤⑥解得： v 1 = m 1 - m 2 m 1 + m 2 v 0 v 2 = 2 m 1 m 1 + m 2 v 0 ， 要使A、B两球能发生二次碰撞，必须满足|v 1 |＞v 2 ⑨， 则有： - m 1 - m 2 m 1 + m 2 ＞ 2 m 1 m 1 + m 2   ⑩， 解得： m 1 ＜ 1 3 m 2 ，（m 1 +m 2 ＜0不符合事实，舍去）； 答：（1）小球A撞击轻质弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能为 m 1 m 2 gR m 1 + m 2 ． （2）要使小球A与小球B能发生二次碰撞，m 1 与m 2 应满足的关系是m 1 ＜ 1 3 m 2 ．