Question

（ 本题满分13分）如图,点A、B分别是椭圆 长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴

（ 本题满分13分）如图,点A、B分别是椭圆 长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA⊥PF. (1)求点P的坐标；(2)设M椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于 ,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值

Answer 1

（ 本题满分13分） 如图,点A、B分别是椭圆 长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA⊥PF. (1)求点P的坐标； (2)设M椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于 ,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值

（1）( , ) （2）

解（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4) 设点P(x,y),则 =（x+6,y）, =(x－4,y),由已知可得 则2x2+9x－18=0,x= 或x=－6. 由于y>0,只能x= ,于是y= . ∴点P的坐标是( , ) (2) 直线AP的方程是x－ y+6="0.  " 设点M(m,0),则M到直线AP的距离是 . 于是 = ,又－6≤m≤ 6,解得m=2. 椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有 d2=(x－2)2+y2=x－4x2+4+20－ x2= (x－ )2+15, 由于－6≤x≤6, ∴当x= 时,d取得最小值 .