Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1，x=-2时都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x∈[-3，2]都有f（x）

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1，x=-2时都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x∈[-3，2]都有f（x）＞c2?102恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b，…（2分）
因为函数在x=1，x=-2时都取得极值，
所以1，-2是3x²+2ax+b=0的两个根…（4分）
1?2＝?

2a

3

，?2＝

b

3

所以a＝

3

2

，b＝?6…（6分）
（Ⅱ） f′（x）=3x²+3x-6=3（x+2）（x-1）…（7分）

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	c+ 9 2		极大值c+10		极小值c? 7 2		c+2

所以f（x）在[-3，2]的最小值为c?

7

2

…（10分）
所以要使f(x)＞

c2?10

2

恒成立，则只要c?

7

2

＞

c2?10

2

即c²-2c-3＜0，解得-1＜c＜3…（12分）