Question

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）试说明：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是以OD为底边的等腰三角形？

Answer 1

（1）∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°
∴OC=OD
则△COD是等边三角形；

（2）△AOD为直角三角形．
∵△COD是等边三角形．
∴∠ODC=60°，
∵∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，于是△AOD是直角三角形．

（3）α=125°．
理由：∵△AOD是以OD为底边的等腰三角形，
∴∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°．
∵110°+α+（60°+∠AOD）=360°，
∴110°+α+（60°+α-60°）=360°，
解得α=125°．