Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），若对于x1、x2∈（0，+∞），都有x1?x2f(x1)?f(x2)＜0且满足f（xy）

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），若对于x1、x2∈（0，+∞），都有x1?x2f(x1)?f(x2)＜0且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，（1）求f（8）（2）求解不等式：f（x）-f（x-2）＞3．

Answer 1

（1）令x=2，y=2，代入f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
再令x=2，y=4，代入f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（8）=f（2）+f（4）=3，
∴f（8）=3．
（2）不等式f（x）-f（x-2）＞3，即f（x）＞f（x-2）+3，即f（x）＞f（x-2）+f（8），
∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x-2）+f（8）=f（8x-16），
又对于x₁、x₂∈（0，+∞），都有

x1?x2

f(x1)?f(x2)

＜0，
∴函数f（x）在∈（0，+∞）上单调递减，
由f（x）＞f（8x-16）得，

x＞0 x?2＞0 x＜8x?16

，
解得，x＞

16

7

，
∴不等式的解集为{x|x＞

16

7

}．