Question

已知函数f（x）=（ax2-2x+a）e-x（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g(x)＝?f′(x)e?x?a?2，

已知函数f（x）=（ax2-2x+a）e-x（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g(x)＝?f′(x)e?x?a?2，h(x)＝12x2?2x?lnx，若x＞l时总有g（x）＜h（x），求实数c范围．

Answer 1

（I）当a=l时，f（x）=（ax²-2x+a）e^-x，其定义域为R
求导函数可得：f′（x）=-（x-1）（x-3）e^-x，
由f′（x）＞0，可得1＜x＜3；由f′（x）＜0，可得x＜1或x＞3
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，3），单调递减区间为（-∞，1），（3，+∞）；
（Ⅱ）∵f′（x）=-[ax²-2（a+1）x+a]e^-x，∴g（x）=ax²-2（a+1）x
令F（x）=g（x）-h（x）=（a-

1

2

）x²-2ax+lnx（x＞1）
x＞l时总有g（x）＜h（x），等价于F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立
求导函数，可得F′（x）=

(x?1)[(2a?1)x?1]

x

①若a＞

1

2

，令F′（x）=0，得x₁=1，x₂=

1

2a?1

当x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1时，在（1，x₂）上，F′（x）＜0，则函数单调递减，在（x₂，+∞）上，F′（x）＞0，则函数单调递增，故函数的值域为[F（x₂），+∞），不合题意，舍去；
②若a≤

1

2

，即2a-1≤0时，在（1，+∞）上，F′（x）＜0，则函数单调递减，∴F（x）＜F（1）=-a-

1

2

≤0，∴-

1

2

≤a≤

1

2

，
综上，a的取值范围为[-

1

2

，

1

2

]．