已知函数f(x)=e^x-1,g(x)=-x^2+4x-3,若有f(a)=g(b),求b的取值范围
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楼主貌似对一楼的解法没有理解。我解释下这个逻辑。
题目意思其实是说存在a,b使得等式 f(a)=g(b) 成立(这题出得不好,这么重要的两个字居然不写,"有"的意思太多,不确切),这就是说a是可以取 f 函数定义域内任何一点的(你看题目里本身对a又没任何限定范围),也就是说 f(a) 可以取遍 函数 f(x) 值域内每一个点。由于f(x) 值域是 (-1, 正无穷),且g(b)又等于f(a),所以 g(b)就可以取遍这个值域内每一个点,就表示:
g(b) > -1这个必须总是成立,于是代入函数g的表达式后,就有
g(b) = -b^2 + 4b - 3 > -1,解出 b^2 - 4b + 2 < 0,从而
2 - sqrt(2) < b < 2 + sqrt(2)。
这里题目问的只是b的范围,就等于默认了a是可以随便取的。这个问法和问"a,b"的范围,或者问"a"的范围是截然不同的,要注意。
题目意思其实是说存在a,b使得等式 f(a)=g(b) 成立(这题出得不好,这么重要的两个字居然不写,"有"的意思太多,不确切),这就是说a是可以取 f 函数定义域内任何一点的(你看题目里本身对a又没任何限定范围),也就是说 f(a) 可以取遍 函数 f(x) 值域内每一个点。由于f(x) 值域是 (-1, 正无穷),且g(b)又等于f(a),所以 g(b)就可以取遍这个值域内每一个点,就表示:
g(b) > -1这个必须总是成立,于是代入函数g的表达式后,就有
g(b) = -b^2 + 4b - 3 > -1,解出 b^2 - 4b + 2 < 0,从而
2 - sqrt(2) < b < 2 + sqrt(2)。
这里题目问的只是b的范围,就等于默认了a是可以随便取的。这个问法和问"a,b"的范围,或者问"a"的范围是截然不同的,要注意。
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-b^2+4b-3=e^a-1,所以-b^2+4b-2=e^a>0
b^2-4b+2<0
解得,2-根号2<b<2+根号2
b^2-4b+2<0
解得,2-根号2<b<2+根号2
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函数f(x)的值域是(-1,+∞)
要使f(a)=g(b),必须使得-x²+4x-3>-1
即x²-4x+2<0
解得2-√2<x<2+√2
∴b的取值范围是(2-√2,2+√2)
要使f(a)=g(b),必须使得-x²+4x-3>-1
即x²-4x+2<0
解得2-√2<x<2+√2
∴b的取值范围是(2-√2,2+√2)
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楼上正解
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