Question

设f(x)在[a,b]内三阶可导，且f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=f''(a)=f'

设f(x)在[a,b]内三阶可导，且f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=f''(a)=f''(b)=0，求证：存在ε属于[a,b],使f(ε)=f'''(ε)

Answer 1

设f(x)在[a,b]内三阶可导，且f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=f''(a)=f'做法如下：

构造函数f(x)＝f(x)×e^(g(x))，则f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，由罗尔中值定理，存在一个ξ∈(a,b)，使f'(ξ)＝0，此即f'(ξ)+f(ξ)g'(ξ)＝0。

具体如下图所示：

微积分是在17世纪末由英国物理学家、数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨建立起来的。微积分是由微分学和积分学两部分组成，微分学是基础。微分学的基本概念是导数和微分，核心概念是导数。导数反应了函数相对于自变量的变化率问题。

定理：若函数f(x)在x处可导，则必在点x处连续。

上述定理说明：函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。

Answer 2

构造函数，利用罗尔定理证明

 

过程如下图：