Question

已知椭圆x2/4+y2/3=1 过椭圆左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于不同于A的MN两点

已知椭圆x2/4+y2/3=1
过椭圆左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于不同于A的MN两点
判断直线MN与x轴的交点是否为定点、若是、求出定点坐标
计算量较大挑战一下吧要答案

Answer 1

已知 A（-2，0），设直线 AM 方程为 y = k(x+2) ，
与 x^2/4+y^2/3 = 1 联立，可解得 M（-(8k^2-6)/(4k^2+3)，12k/(4k^2+3)），
将上式的 k 换成 -1/k ，可得 N（(6k^2-8)/(3k^2+4)，-12k/(3k^2+4)），
如果直线 MN 过 x 轴上定点 P（a，0），由 P、M、N 三点共线可得
[12k/(4k^2+3) - 0] / [-12k/(3k^2+4) - 0] = [-(8k^2-6)/(4k^2+3) - a] / [ (6k^2-8)/(3k^2+4) - a] ，
解得 a = -2/7 ，
所以，直线 MN 过 x 轴上定点（-2/7，0）。