Question

已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是______

已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是______．

Answer 1

∵正数a，b，c满足a+b=ab，∴ ab≥2 ab ，化为 ab ( ab -2)≥0 ， ∴ ab ≥2 ，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab∈[4，+∞）． ∵a+b+c=abc，∴ab+c=abc，∴c= ab ab-1 = ab-1+1 ab-1 =1+ 1 ab-1 ． ∵ab≥4，∴ 1＜1+ 1 ab-1 ≤ 4 3 ，∴ 1＜1+ 1 ab-1 ≤ 4 3 ． ∴c的取值范围是 (1， 4 3 ] ． 故答案为 (1， 4 3 ] ．