Question

已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．（Ⅰ）求证：PA 平面BFD

已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．（Ⅰ）求证：PA 平面BFD；（Ⅱ）求二面角P﹣BF﹣D的大小．

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Answer 1

证明：（Ⅰ）连接AC，BD与AC交于点O，连接OF． ∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点． ∵点F为PC的中点， ∴OF PA． ∵OF 平面BFD，PA 平面BFD， ∴PA 平面BFD． （Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，AC 平面ABCD， ∴PA⊥AC． ∵OF PA， ∴OF⊥AC． ∵ABCD是菱形， ∴AC⊥BD． ∵OF∩BD=O， ∴AC⊥平面BDF． 作OH⊥BF，垂足为H，连接CH，则CH⊥BF， 所以∠OHC为二面角PD⊥的平面角．ABCDPA=AD=AC， ∴ ， ． 在Rt△FOB中，OH= PA， ∴ ． ∴二面角C﹣BF﹣D的大小为 ∵二面角C﹣BF﹣D的平面角与二面角P﹣BF﹣D的平面角互补 ∴二面角P﹣BF﹣D的大小为π﹣