Question

设函数f（x）在（0，+∞）上具有二阶导数，且f″（x）＞0，令un=f（n），则下列结论正确的是（　　）A．

设函数f（x）在（0，+∞）上具有二阶导数，且f″（x）＞0，令un=f（n），则下列结论正确的是（　　）A．若u1＞u2，则{un}必收敛B．若u1＞u2，则{un}必发散C．若u1＜u2，则{un}必收敛D．若u1＜u2，则{un}必发散

Answer 1

∵f″（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）的图形是凹的
∴?x₀∈（0，+∞），f（x）在（0，x₀）单调递减，在（x₀，+∞）单调递增（也有可能x₀≤0）
∴（1）选项D：若u₁＜u₂，即u_n=f（n）处于f（x）单调递增的区间，
此时，f（n）是无界的
∴u_n发散
∴选项D正确．
（2）选项A：若u₁＞u₂，
此时，不能判断u_n=f（n）是否有界，因而也就不能判断u_n是否收敛
例如：取f（x）=（x-3）²，满足题目条件f（1）＞f（2），但f（n）=（n-3）²发散，所以排除A；
选项B：取f（x）=x^-2，满足f（1）＞f（2），但f(n)＝n?2＝

1

n2

收敛，所以排除B；
（3）选项C：取f（x）=x²，满足f（1）＜f（2），但f（n）=n²发散，所以排除D．
故选：D