Question

已知函数f（x）=ex（ax2-2x-2），a∈R且a≠0．（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴

已知函数f（x）=ex（ax2-2x-2），a∈R且a≠0．（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（2）当a＞0时，求函数f（|sinx|）的最小值；（3）在（1）的条件下，若y=kx与y=f（x）的图象存在三个交点，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=（e^x）′?（ax²-2x-2）+e^x?（ax²-2x-2）′
=e^x?（ax²-2x-2）+e^x?（2ax-2）
=a?e^x?（x-

2

a

）（x+2）．
∵曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，
由导数的几何意义得f′（2）=0，
∴a=1．
∴实数a的值为：1．
（2）由（1）可知设|sinx|=t，（0≤t≤1），则转化为求函数y=f（t），（0≤t≤1）的最小值．
∵a＞0∴f′（x）=e^x?[ax²+（2a-2）x-4]=a?e^x?（x-

2

a

）（x+2）．
令f′（x）=0，解得x=

2

a

或x=-2（舍）．
若

2

a

≥1，即0＜a≤2时，x∈[0，1]时，f′（x）＜0，
函数f（t）在[0，1]上为减函数则函数f（t）的最小值为f（1）=（a-4）e；
若0＜

2

a

＜1，即a＞2时，函数f（t）在（0，

2

a

）上递减，在（

2

a

，1）上递增
∴函数f（t）的最小值为f（

2

a

）=-2e

2

a

∴当0＜a≤2时，函数f（|sinx|）的最小值为（a-4）e
当a＞2时，函数f（|sinx|）的最小值为-2e

2

a

（3）∵y=kx与y=f（x）的图象存在三个交点
∴kx=e^x（x²-2x-2）有三解，即k=

ex(x2?2x?2)

x

而令g（x）=

ex(x2?2x?2)

x

则g′（x）=

ex(x3?x2?2x+2)

x2

．
令g′（x）=0解得x=1或±

2

当x＜-2时，g′（x）＜0，当-2＜x＜0时，g′（x）＞0，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当1＜x＜2时，g′（x）＜0，当x＞2时，g′（x）＞0
∴当x=-2时函数取极小值g（-2）=-3e^-2，当x=1时，函数取极大值g（1）=-3e，
当x=2时，函数取极小值g（2）=-e²，画出函数图象
结合函数的图象可知-e²＜k＜-3e或-3e^-2＜k＜0