Question

已知f（x）是定义在R上的增函数，且记g（x）=f（x）-f（1-x）．（1）设f（x）=x，若数列{an}满足a1=3，an

已知f（x）是定义在R上的增函数，且记g（x）=f（x）-f（1-x）．（1）设f（x）=x，若数列{an}满足a1=3，an=g（an-1），试写出{an}的通项公式及前2m的和S2m；（2）对于任意x1、x2∈R，若g（x1）+g（x2）＞0，判断x1+x2-1的值的符号．

Answer 1

（1）a_n=g（a_n-1）=f（a_n-1）-f（1-a_n-1）=a_n-1-（1-a_n-1）=2a_n-1-1，则a_n-1=2（a_n-1-1），a₁-1=2，即数列{a_n-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2ⁿ+1，S2m＝

2(22m?1)

2?1

+2m＝22m+1+2m?2；
（2）若x₁+x₂-1≤0，则x₁≤1-x₂，x₂≤1-x₁，∵f（x）是定义在R上的增函数
∴f（x₁）≤f（1-x₂），f（x₂）≤f（1-x₁），则f（x₁）+f（x₂）≤f（1-x₂）+f（1-x₁）
∴f（x₁）-f（1-x₁）+f（x₂）-f（1-x₂）≤0，即g（x₁）+g（x₂）≤0，与g（x₁）+g（x₂）＞0矛盾，
∴x₁+x₂-1＞0