Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1、CC1的中点．（1）求点E到面对角线BD的距离；

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1、CC1的中点．（1）求点E到面对角线BD的距离；（2）求证：四边形BED1F是菱形．

Answer 1

（1）连结AC与BD交于O点，连EO，则BD⊥AO
∵EA⊥平面ABCD，∴EO在平面ABCD上的射影为AO
结合BD⊥AO，得EO⊥BD
∴点E到面对角线BD的距离即为EO的长…（3分）
在Rt△EAO中，EA＝

1

2

，∠EAO＝90°，AO＝

2

2

，
∴EO＝

EA2+AO2

＝

3

2

即点E到面对角线BD的距离为

3

2

…（6分）
（2）取DD₁的中点M，连结AM、FM
∵FM∥CD∥AB，且FM=CD=AB，∴四边形FMAB为平行四边形
可得BF∥AM，且BF=AM
又∵四边形AMD₁E也是平行四边形，
∴ED₁∥AM，且ED₁=AM
∴BF∥ED₁，且BF=ED₁，可得四边形EBFD₁是平行四边形，（10分）
又∵EB=

5

2

=BF，∴四边形EBFD₁是菱形…（12分）