Question

已知a∈R，函数f（x）=-a（3sin2x+cos2x）+2a+b，当x∈[0，π2]时，f（x）的值域是[-5，1]．（Ⅰ）求常数

已知a∈R，函数f（x）=-a（3sin2x+cos2x）+2a+b，当x∈[0，π2]时，f（x）的值域是[-5，1]．（Ⅰ）求常数a，b的值；（Ⅱ）当a＞0时，设g（x）=f（x+π2）（x∈R），求g（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=-a（

3

sin2x+cos2x）+2a+b，
∴f(x)＝?2asin(2x+

π

6

)+2a+b，
∵x∈[0，

π

2

]’
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴?2sin(2x+

π

6

)∈[?2，1]，
∴当a＞0时，f（x）∈[b，3a+b]，
即 

3a+b＝1 b＝?5

，∴

a＝2 b＝?5

； 
当a＜0时，f（x）∈[3a+b，b]，
即 

3a+b＝?5 b＝1

∴

a＝?2 b＝1

；
∴a=2，b=-5或a=-2，b=1．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知：f(x)＝?4sin(2x+

π

6

)?1，
∴g(x)＝4sin(2x+

π

6

)?1，
由2x+

π

6

∈[2kπ?

π

2

，2kπ+

π

2

]，
得x∈[kπ?

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，
由2x+

π

6

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，
得x∈[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)，
∴g（x）的单调递增区间为[kπ?

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，
g（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)．
（其他写法参照给分）