Question

已知二次函数y=f（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=f（x）在x=-1处取得最小值为0．（1）求y=f（x）

已知二次函数y=f（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=f（x）在x=-1处取得最小值为0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）-kx在区间（0，2）有两个不同的零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）依题可设f（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），
则f′（x）=2ax+2a；
又f′（x）的图象与直线y=2x平行   
∴2a=2     
解得a=1
∵y=f（x）在x=-1处取得最小值为0．
∴m-1=0
∴m=1
∴f（x）=x²+2x+1，
（2）∵y=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，在区间（0，2）有两个不同的零点，
即x²+（2-k）x+1=0在在区间（0，2）有两个不同根，
∴

f(0)＞0  f(2)＞0 0＜ k?2 2 ＜2

即

1＞0 2k+1＞0 0＜ k?2 2 ＜2

解得.2＜k＜6，
故实数k的取值范围为（2，6）