Question

如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠BAC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：（1）∠ADB

如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠BAC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：（1）∠ADB=45°；（2）BE=2CD．

Answer 1

解答：证明：（1）∵CD⊥BE，∠BAC=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADB=∠ACB，
∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠ADB=45°；

（2）
延长BA和CD交于Q，
∵∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°，
∴∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°，
∴∠ACQ=∠ABE，
在△ABE和△ACQ中，

∠ABE＝∠ACQ AB＝AC ∠BAE＝∠CAQ

，
∴△ABE≌△ACQ（ASA），
∴BE=CQ，
∵BD平分∠ABC，
∴∠QBD=∠CBD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠BDQ=90°，
在△QDB和△CDB中，

∠QBD＝∠CBD BD＝BD ∠BDQ＝∠BDC

，
∴△QDB≌△CDB（ASA），
∴CD=DQ，
∴CQ=2CD，
∴BE=2CD．