Question

证明：tan²1°+tan²2°+tan²3°+···+tan²89°=5310+(1/3)

请高手认真对待，要完整的过程！

Answer 1

给你一个计算量较小的做法
cosnx+isinnx = (cosx+isinx)^n = (cosx)^n+C(n,1)(cosx)^{n-1}(isinx)+...+(isinx)^n
比较虚部得到
sinnx = C(n,1)(cosx)^{n-1}(sinx)-C(n,3)(cosx)^{n-3}(sinx)^3+...
取n=2m=180, x=1°,2°, ..., 89°代入，左边总是零，两边同除以cosx(sinx)^{n-1}，并令t=(cotx)^2得到
C(2m,1)t^{m-1}-C(2m,3)t^{m-3}+...=0
也就是说tan²1°, tan²2°, ..., tan²89°恰好是上述关于t的89次多项式的根，利用Vieta定理就得到其和为C(180,3)/C(180,1)=15931/3

追问

看是终于看懂了，不过高中生通常想不到如此“大胆”的解法的！请问您是怎么想到的呢？
（韦达定理的历史是有趣的：韦达在16世纪就得出这个定理，但未严格证明过；证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。）

追答

凑Vieta定理是很基本的想法，只不过如何凑出这个多项式是需要技术的，至于这种构造最初是谁想到的我也不知道，我只是以前见到过类似的初等方法。
我自己另有一套类似的做法，但对技术要求更高而且计算量稍大一些，不过你的知识不够，所以我就不介绍了。
另外，Vieta定理是否依赖代数基本定理完全取决于条件的叙述方式，如果把根的存在性作为条件Vieta已经给出了证明。不能认为这个证明是不严格的。等你学过更一般的代数系统就能理解了，在没有选择公理的情况下一般域上方程根的存在性不是必然的。

Answer 2

证明：用到的公式有tan²a=tan^2(90-a)=cot^2(a) 1+cot^2(a)=csc^2(a)
tan²1°+tan²2°+tan²3°+···+tan²89°=(tan^2(1)+cot^2(1))+(tan^2(2)+cot^2(2))+...+(tan^2(44)+cot^2(44))+tan^2(45)=1/(sin^2(1)*cos^2(1))-2+......+(tan^2(44)+cot^2(44))+tan^2(45)=4csc^2(2)+4csc^2(4)+4csc^2(6)+........4csc^2(88)+tan^2(45)-2*44
=4(1+cot^2(2))+4(1+cot^2(4)）+.........+4(1+cot^2(88)）+1-2*44
=4*44+1+4cot^2(2)+4cot^2(4)+.....+4cot^2(88) -2*44
＝4*44+1+4(cot^2(2)+cot^2(88))+........-2*44
=4*44+1+4(cot^2(2)+tan^2(2))+.......-2*44
下面反复应用tan²a=tan^2(90-a)=cot^2(a) 1+cot^2(a)=csc^2(a)
就不求了。
最后可以证明tan²1°+tan²2°+tan²3°+···+tan²89°=5310+(1/3)

Answer 3

当当当当 证明完毕~~~

Answer 4

高中

Answer 5

对不起我真不会

Answer 6

真的难倒我了