Question

方程3x+4x=5x的根（ ）。

A.有且仅有x=2 B.不仅有x=2 ，还有其它根 C.有x=2 和一个负根 D.有x=2 和一个正根

Answer 1

A
这是个超越方程，也没有什么特别好的解法。

由于3, 4, 5是一组勾股数，不难得到一个解x = 2。我们还要说明这个解是唯一的（实根）。

再看函数
f(x) = 3^x + 4^x - 5^x
f(x) = 0 当且仅当
g(x) = 1 + (4/3)^x - (5/3)^x = 0
对g(x)求导
g'(x) = ln(4/3) * (4/3)^x - ln(5/3) * (5/3)^x
对g'(x)作类似处理，令
h(x) = ln(4/3) - ln(5/3) * (4/5)^x
则g'(x) = 0 当且仅当 h(x) = 0，且h(x)与g'(x)单调性相同。
不难看出h(x) = 0有唯一解。
从而不难得到g'(x)单调性。进而可得到g(x)的单调性，从而判断g(x)实根唯一。
所以f(x)实根唯一。

Answer 2

C