Question

如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC

如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延长线于H，则以下结论：①DE=DG；②BE=CG；③DF=DH；④BH=CF．其中正确的是（　　） A．②③ B．③④ C．①④ D．①②③④

Answer 1

根据已知条件， ∵△ABC是等腰直角三角形，CD是中线． ∴BD=DC，∠B=∠DCA=45°． 又∵∠BDC=∠EDH=90°，即∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDH ∴∠BDE=∠CDH ∴△DBE≌△DCG（ASA） ∴DE=DG；BE=CG． 同理可证：△DCH≌△DAF，可得：DF=DH；AF=CH． ∵BC=AC，CH=AF，∴BH=CF． 故选D．

Answer 2

证明：连接CD
∵∠ACB＝90,AC＝BC
∴∠A＝∠B＝45
∵D为AB的中点
∴AD＝CD＝BD（直角三角形中线特性），∠BAD＝∠ACB/2＝45,CD⊥AB（三线合一）
∴∠BCD＝∠A，∠ADE+∠CDE＝90
∵ED⊥DF
∴∠CDF+∠CDE＝90
∴∠ADE＝∠CDF
∴△ADE≌△CDF （ASA）
∴DE＝DF

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Answer 3

连接DC,∵∠BDE+∠EDC=∠GDC+∠EDC=90° BDE和CDE相等 ∵BD=CD ∠B=∠DCG=45 然后三角形BDE CDG全等 得到BE=CG,DE=DG 然后因为角EDH和FDG=90° 角F=角H 三角形FDG 和HDE 全等 得DF=DH EH=FG 所以BH=EH+BE=FG+CG=CF
1234正确