如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC和BD的交点,E为CO上一点,连接BE,F为∠OBE角平分线上一点,连接OF、
如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC和BD的交点,E为CO上一点,连接BE,F为∠OBE角平分线上一点,连接OF、AF,G为BE上一点且BO=BG.(1)若GF⊥OF...
如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC和BD的交点,E为CO上一点,连接BE,F为∠OBE角平分线上一点,连接OF、AF,G为BE上一点且BO=BG.(1)若GF⊥OF,OF=1,求线段OG的长度;(2)若∠AFB=90°,求证:AF=BF+OG.
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(1)∵BF平分∠DBE,
∴∠OBF=∠EBF.
∵在△OBF和△GBF中
,
∴△OBF≌△GBF(SAS),
∴OF=FG.
∵GF⊥OF,
∴∠GFO=90°.
∵OF=1,
∴OF=FG=1.
在Rt△OFG中,由勾股定理,得
OG=
=
;
(2)在线段AF上取一点M,使AM=BF,连接OM,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠OAF+∠ONA=90°.
∵∠AFB=90°,
∴∠FNB+∠OBF=90°.
∵∠ONA=∠FNB,
∴∠OAM=∠OBF.
∵在△AOM和△BOF中
,
∴△AOM≌△BOF(SAS),
∴OM=OF,∠AOM=∠BOF.
∵∠AOM+∠MON=90°,
∴∠BOF+∠MON=90°
即∠MOF=90°.
∴∠OFM=45°,
∴MF=
OF,
∴∠BFO=∠OFM+∠AFB=135°.
∵△OBF≌△GBF,
∴∠BFG=∠BFO=135°,OF=GF.
∴∠OFG=360°-∠BFO-∠BFG=90°,
∴OG=
∴∠OBF=∠EBF.
∵在△OBF和△GBF中
|
∴△OBF≌△GBF(SAS),
∴OF=FG.
∵GF⊥OF,
∴∠GFO=90°.
∵OF=1,
∴OF=FG=1.
在Rt△OFG中,由勾股定理,得
OG=
1+1 |
2 |
(2)在线段AF上取一点M,使AM=BF,连接OM,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠OAF+∠ONA=90°.
∵∠AFB=90°,
∴∠FNB+∠OBF=90°.
∵∠ONA=∠FNB,
∴∠OAM=∠OBF.
∵在△AOM和△BOF中
|
∴△AOM≌△BOF(SAS),
∴OM=OF,∠AOM=∠BOF.
∵∠AOM+∠MON=90°,
∴∠BOF+∠MON=90°
即∠MOF=90°.
∴∠OFM=45°,
∴MF=
2 |
∴∠BFO=∠OFM+∠AFB=135°.
∵△OBF≌△GBF,
∴∠BFG=∠BFO=135°,OF=GF.
∴∠OFG=360°-∠BFO-∠BFG=90°,
∴OG=
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