Question

已知△ABC，O是△ABC所在平面内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2．（1）如图（1），

已知△ABC，O是△ABC所在平面内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2．（1）如图（1），当点O与点A在直线BC的异侧时，∠1+∠2+∠A+∠O=______°；（2）如图（2），当点O在△ABC的内部时，∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间满足什么样的数量关系？请说明你的理由；（3）当点O在△ABC所在平面内运动时（点O不在三边所在的直线上），由于所处的位置不同，∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间满足的数量关系还存在着与（1）、（2）中不同的结论，你能否在图（3）中画出一种不同的示意图，并直接写出相应的结论．

Answer 1

（1）如图（1），当点O与点A在直线BC的异侧时， ∵AB、OB、OC、AC四条线段正好构成四边形， ∴∠1+∠2+∠A+∠O=360°； （2）连接OA，并延长交BC于D点， ∵∠BOD是△AOB的外角， ∴∠OAB+∠1=∠BOD， ∵∠COD是△AOB的外角， ∴∠OAC+∠2=∠COD， ∴∠OAB+∠1+∠OAC+∠2=∠COD+∠BOD， 即∠1+∠2+∠A=∠O． （3）如图所示，∠A=∠2+∠O-∠1． 在△ABD中，∠4=180°-∠A-∠1， ∵∠3=∠4， ∴∠3=180°-∠A-∠1， ∴∠3+∠2+∠O=180°， ∴180°-∠A-∠1+∠2+∠O=180°， 整理得，∠A=∠2+∠O-∠1．