Question

（2013?南通二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发

（2013?南通二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），若△APQ∽△ABC，求t的值；（2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．①当直线l经过点A时，射线QP交AD边于点E，求AE的长；②是否存在t的值，使得直线l经过点B？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5，
∵△APQ∽△ABC，
∴

AP

AB

=

AQ

AC

，
∴

t

3

=

3?t

5

，
t=

9

8

；

（2）①∵QP的垂直平分线过A，
∴AP=AQ，
∴3-t=t，
t=1.5，
∴AP=AQ=1.5，
延长QP交AD于E，过Q作QO∥AD交AC于O，
则QO∥BC，
∴△AQO∽△ABC，
∴

AO

AC

=

AQ

AB

=

QO

BC

，
∴AO=

AQ

AB

?AC=

5

2

，QO=

AQ

AB

?BC=2，
∴PO=AO-AP=1，
∵QO∥AD，
∴△APE∽△OPQ，
∴

AE

OQ

=

AP

OP

，
∴AE=

AP

OP

?OQ=3．

②解：存在t的值，使得直线l经过点B，
理由是：（i）如图2，
当点Q从B向A运动时，直线l过B点，
BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，
∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°，
∴∠PBC=∠PCB，
∴CP=BP=AP=t，
∴CP=AP=

1

2

AC=

1

2

×5=2.5，
即t=2.5；
（ii）如图3，
当点Q从A向B运动时，直线l过B点，
BP=BQ=3-（t-3）=6-t，AP=t，PC=5-t，
过P作PG⊥BC于G，
则PG∥AB，
∴△PGC∽△ABC，
∴

PC

AC

=

PG

AB

=

GC

BC

，
∴PG=

PC

AC

?AB=

3

5

（5-t），CG=

PC

AC

?BC=

4

5

（5-t），
由勾股定理得：BP²=BG²+PG²，
∴（6-t）²=（

4

5

t）²+[

3

5

（5-t）]²，<