Question

已知四边形ABCD是边长为2的正方形，以对角线BD为边作正三角形BDE，过E作DA的延长线的垂线EF，垂足为F．（

已知四边形ABCD是边长为2的正方形，以对角线BD为边作正三角形BDE，过E作DA的延长线的垂线EF，垂足为F．（1）求证：EF=AF；（2）求AF的长．

Answer 1

（1）证明：连接EA，且延长交BD于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，AB=AD，
∴A在BD垂直平分线上，
∵三角形BDE是等边三角形，
∴∠BED=∠EDB=∠EBD=60°，ED=EB，
∴E在BD的垂直平分线上，
∴AE是BD的垂直平分线，
∴∠DEO=

1

2

∠DEB=30°，
∵∠EDB=60°，∠ADB=45°，
∴∠EDA=60°-45°=15°，
∴∠EAF=15°+30°=45°，
∵EF⊥AD，
∴∠EFA=90°，
∴∠FEA=45°=∠EAF，
∴EF=AF．

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=2，∠BAD=90°，
由勾股定理得：BD=2

2

，
即ED=BD=2

2

，
设AF=EF=x，
在Rt△EFD中，由勾股定理得：ED²=EF²+FD²，
∴（2

2

）²=x²+（2+x）²，
x₁=-1-

3

（是负数，不符合题意舍去），x₂=-1+

3

，
即AF=-1+

3

．