已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n（n∈N*），（1）求证数列{an+2}为等比数列；（2）若数列{bn}
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n（n∈N*），（1）求证数列{an+2}为等比数列；（2）若数列{bn}满足bn=log2（an+2），Tn为数列...
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n（n∈N*），（1）求证数列{an+2}为等比数列；（2）若数列{bn}满足bn=log2（an+2），Tn为数列{bnan+2}的前n项和，求证：Tn＜32．
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（1）由Sn=2an-2n（n∈N*）可得sn-1=2an-1-2（n-1）（n≥2），
两式相减得：an=2an-1+2（n≥2），
∴an+2=2（an-1+2）（n≥2），
∴
=2（n≥2），
∴数列{an+2}为等比数列，又a1=2a1-2，故a1=2，
∴数列{an+2}为首项为4，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可知an+2=4×2n-1，
∴bn=log2(4×2n?1)=log22n+1=n+1，
∴
=
，
∴Tn=
+
+
+…+
+
，①
∴
Tn=
+
+…+
+
，②
∴①-②得：
Tn=
+
+
+…+
两式相减得：an=2an-1+2（n≥2），
∴an+2=2（an-1+2）（n≥2），
∴
| an+2 |
| an?1+2 |
∴数列{an+2}为等比数列，又a1=2a1-2，故a1=2，
∴数列{an+2}为首项为4，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可知an+2=4×2n-1，
∴bn=log2(4×2n?1)=log22n+1=n+1，
∴
| bn |
| an+2 |
| n+1 |
| 2n+1 |
∴Tn=
| 2 |
| 22 |
| 3 |
| 23 |
| 4 |
| 24 |
| n |
| 2n |
| n+1 |
| 2n+1 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 23 |
| 3 |
| 24 |
| n |
| 2n+1 |
| n+1 |
| 2n+2 |
∴①-②得：
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 24 |
| 1 |
| 2n+1 |
