Question

如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高,点P为AD上一动点,延BP至E,使AE=AB,连结CE.

(1)求证：∠CBE=90°-∠ACE;
(2)当∠CAE=60°时，试探究AP,BP,EP三者之间是何关系，并证明你的结论.
我初二，只能用平行和全等，最好写详细过程。

Answer 1

（1）证：
设角ACB=α，角ACE=β，角ABE=γ，AC与BE的交点为F
则角BFC=角FCE+角FEC=β+β-γ=2β-γ，同理角EFC=2α-γ，所以角BFC-角EFC=2β-2α，角BFC+角EFC=180度
所以角BFC=90度-α+β
所以角FCB=180度-角BFC-角BCF=180度-90+α-β-α=90度-β=90度-角ACE，得证
（2）解：
联结PC，作角PCF=60度，角PE与D点，由（1），角DEC=90度-α=角PAC
又因为角PCD=角ACE，所以角ACP=角ECD，又因为AC=CE
所以△ACP≌△ECD，所以AP=ED，PC=DC，又因为角PCD=60度，所以PC=PD
所以AP+BP=ED+PC=ED+PD=EP
望采纳~

Answer 2

(1)连接CP
∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAP=∠CAP
∵AP=AP,∴△ABP≌△ACP(SAS)
∴∠ABP=∠ACP
∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB
∴∠ACP=∠AEP,∴∠CAE=∠CPE=∠PBC+∠PCB=2∠PBC
∵AC=AE,∴∠ACE=(180°-∠CAE)/2=(180°-2∠PBC)/2=90°-∠PBC
即∠CBE=90°-∠ACE
(2)当∠CAE=60°时,△ACE是等边三角形
∴∠ACE=60°=90°-∠PBC=∠BPD=∠APE
在EP上截取EQ=BP,连接AQ,则△ABP≌△AEQ(SAS)
∴∠BAP=∠EAQ=∠CAP
∴∠PAQ=∠CAP+∠CAQ=∠EAQ+∠CAQ=∠CAE=60°
∴△APQ是等边三角形,AP=PQ
∴EP=EQ+PQ=AP+BP