Question

高中数学的一道题。

已知动直线l过点P（4,0），交抛物线y²=4x于A、B两点。是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长为定值?如果存在，求出m的方程;如果不存在，说明理由。

Answer 1

解答：根据题意：
直线L：y=k(x-4)；抛物线：y^2=4x； （K≠0）
联立两式子，整理可得：
k^2X^2-(8k^2+4)x+16K^2=0；
根据韦达定理：X1+X2=8+k^2/4；X1X2=16；
所以：y1+y2=k（x1-4）+k（x2-4）=K（X1+X2）-8K=4/k；（K≠0）
因此：AP的中点o（X1/2+2；y1/2）为圆心；
半径R=|AP|/2=]1/2√[(X1-4)^2+y1^2] ;
垂直的直线X=m；
通过弦长关系可以确定L：
(L/2)^2+(m-X1)^2=R^2；根据题目可以知道弦长能保持定值，为了计算上的方便可以用特殊值法。
即：假定K=1；
则有：L^2/4=R^2-(m-X1)^2为一个定值；
L^2/4=12-4√5-20-4√5(m-6)-(m-6)^2;
进一步整理：右边=-m^2-(4√5-12)m+28+20√5；
构造函数：F（X）=-X^2-(4√5-12)X+28+20√5；求导并令导数为0；则有：
-2X-4√5+12=0;解得X=6-2√5=X1值；
故此有：当M=6-2√5；满足。也就是说垂直直线X=6-2√5=XA值。
仅供参考！！！！！
题目不错，给的分数建议增加，这样才会有更多的人愿意去解答！！！！！！！

Answer 2

设AP中点为Q（X,Y）.则A（2X-4,2Y）带入抛物线得 ：Y^2=2X-4 半径=PQ
设直线m：x=t 圆心到直线m的距离:|X-t| 弦长为定值==》PQ^2-(X-t)^2=M(定值)
即：(X-4)^2-(X-t)^2=(2t-6)X+12-T^2=M 恒成立==》2t-6=0 ==》t=3
所以m=3
PS:呼呼。。。搞定。。。

追问

不好意思，你的答案是正错的，上面的做法结果不对，当时没看清楚，把他的做法选作最佳答案。其实你的做法是正确的，在这对你说声道歉。

追答

呵呵，没事儿，你知道怎么做就好了