Question

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D中，点E是棱BC的中点，点E是棱CD上的动点，试确定F的位置，使得D1E垂直...

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D中，点E是棱BC的中点，点E是棱CD上的动点，试确定F的位置，使得D1E垂直平面AB1F

Answer 1

解法一：（I）连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影
∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF．
连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．
∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF．
∵ABCD是正方形，E是BC的中点．
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．

解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E(1，12，0)，F（x，1，0）∴D1E→=(1，-12，-1)，AB1→=(1，0，1)，AF→=(x，1，0)
∴D1E→•AB1→=1-1=0，即D1E⊥AB1
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E∪AF⇔D1E→•AF→=0⇔x-12=0
即x=12．故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F