Question

已知函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.试证:在(a,b)内至少存在一点§,使得

f(§)+f'(§)=0

Answer 1

利用柯西中值定理证明。
设g(x)=lnx，则根据条件可知：
f(x)，g(x)在(a,b)上满足柯西中值定理条件，
∴在(a,b)上存在ξ，使得：
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)
即：[f(b)-f(a)]/ln(b/a)=f'(ξ)/(1/ξ)
移项整理即得：f(b)-f(a)=ξf'(ξ)ln(b/a)
这样可以么？

追问

求f(§)+f'(§)=0

Answer 2

设g(x)=f(x)e^x，由题意知g(x)连续且可导，
又∵g(a)=g(b)=0, 由罗尔定理必有g'(§)=0
g'(§)=f'(§)e^§+f(§)e^§=0
即 f(§)+f'(§)=0
证毕。