Question

函数y=f（x）在区间（0，+∞）内可导．导函数f′（x）是减函数，且f′（x）＞0，x0∈（0，+∞）．

g（x）=kx+m是y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程．
（1）用x0，f（x0），f′（x0）表示m；
（2）证明：当x∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）；

Answer 1

解：
(1)
（x0,f(x0)）,(x0,f′（x0）)均在切线上 则切线方程为：
y-f(x0)=f′（x0）(x-x0),故m=f(x0)-x0f′（x0）
(2)
证明当x∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）；可证明当x∈（0，+∞）时，g（x）-f（x）≥0成立
即h（x）=g（x）-f（x）=f′（x0）(x-x0)+f(x0)-f(x)≥0
f′（x）是减函数，且f′（x）＞0
则f（x）为（0，+∞）的增函数 且增长的越来越慢
则可知：切线切于f(x)，当x<x0或x>x0时，f′（x0±Δx)≥f(x0±Δx)
则当x>x0时，f′（x0）≥(f(x)-f(x0))/(x-x0)
f′（x0）(x-x0)+f(x0)-f(x)≥0成立

当x<x0时，f′（x0）≤(f(x)-f(x0))/(x-x0)
f′（x0）(x-x0)+f(x0)-f(x)≥0也成立
综上所述 当x∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）成立

Answer 2

哇