Question

已知函数f(x)＝2(cos2x+3sinxcosx)+1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并求其单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0

已知函数f(x)＝2(cos2x+3sinxcosx)+1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并求其单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，π2]时，求f（x）的值域．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f(x)＝2(cos2x+

3

sinxcosx)+1=cos2x+

3

sin2x+2
=2sin（

π

6

+2x）+2，
故它的最小正周期等于

2π

2

=π．
令 2kπ-

π

2

≤

π

6

+2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
故函数的单调增区间[kπ?

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，

π

6

+2x∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（

π

6

+2x）∈[-

1

2

，1]，
2sin（

π

6

+2x）+2∈[1，4]，
故函数的值域为[1，4]．