已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；（2）若?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成
已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；（2）若?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数α的取值范围；（3）若x1＞x2＞...
已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；（2）若?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数α的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：f(x1)?f(x2)x1?x2＞2x2x12+x22．
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（1）∵f（x）=lnx，g（x）=f（x+1）-x，
∴g（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，
则g′(x)＝
?1＝
．…（2分）
当x∈（-1，0）时，g′（x）＞0，则g（x）在（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．…（4分）
（2）∵?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，
∴
在x＞0上恒成立．…（6分）
设h（x）=
，则h′(x)＝
．
当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在x=e时取最大值h（e）=
．
要使f（x）≤ax恒成立，必须a≥
．．…（8分）
另一方面，当x＞0时，x+
≥2，要ax≤x2+1恒成立，必须a≤2．
所以，满足条件的a的取值范围是[
，2]．．…（10分）
（3）当x1＞x2＞0时，
不等式
＞
等价于ln
＞
∴g（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，
则g′(x)＝
| 1 |
| x+1 |
| ?x |
| x+1 |
当x∈（-1，0）时，g′（x）＞0，则g（x）在（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．…（4分）
（2）∵?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，
∴
|
设h（x）=
| lnx |
| x |
| 1?lnx |
| x2 |
当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在x=e时取最大值h（e）=
| 1 |
| e |
要使f（x）≤ax恒成立，必须a≥
| 1 |
| e |
另一方面，当x＞0时，x+
| 1 |
| x |
所以，满足条件的a的取值范围是[
| 1 |
| e |
（3）当x1＞x2＞0时，
不等式
| f(x1)?f(x2) |
| x1?x2 |
| 2x2 |
| x12+x22 |
| x1 |
| x2 |
2?
| ||
(
|
