Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是 AB 的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交C

如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是 AB 的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．

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Answer 1

（1）证明：连接OD交于AB于点G． ∵D是 AB 的中点，OD为半径， ∴AG=BG．（2分） ∵AO=OC， ∴OG是△ABC的中位线． ∴OG ∥ BC， 即OD ∥ CE．（2分） 又∵CE⊥EF， ∴OD⊥EF， ∴EF是⊙O的切线．（1分） （2）在Rt△CEF中，CE=6，EF=8， ∴CF=10．（1分） 设半径OC=OD=r，则OF=10-r， ∵OD ∥ CE， ∴△FOD ∽ △FCE， ∴ FO FC = OD CE ，（2分） ∴ 10-r 10 = r 6 ， ∴r= 15 4 ， 即：⊙O的半径为 15 4 ．（2分）