Question

选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，曲线C 1 的参数方程为 x=4cosθ

选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，曲线C 1 的参数方程为 x=4cosθ y=4sinθ （θ为参数，且0≤θ≤2π），点M是曲线C 1 上的动点．（Ⅰ）求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsin+1=0（ρ＞0），求点P到直线l距离的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）曲线C 1 上的动点M的坐标为（4cosθ，4sinθ），坐标原点O（0，0）， 设P的坐标为（x，y），则由中点坐标公式得x= 1 2 （0+4c0sθ）=2cosθ，y= 1 2 （0+4sinθ）=2sinθ， ∴点P 的坐标为（2cosθ，2sinθ） ∴点P的轨迹的参数方程为 x=2cosθ y=2sibθ （θ为参数，且0≤θ≤2π）， 消去参数θ得点P轨迹的直角坐标方程为x 2 +y 2 =4 （Ⅱ）由直角坐标与极坐标关系 x=ρcosθ y=ρsibθ 得直线l的直角坐标方程为 x-y+1=0    又由（Ⅰ）知点P的轨迹为圆心在原点半径为2的圆， 因为原点（0，0）到直线x-y+1=0的距离为 |0-0+1| 1 2 + (-1) 2 = 2 2 所以点P到直线l距离的最大值2+ 2 2