Question

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝ ，点F是PB的中点，点E在边BC上

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝ ，点F是PB的中点，点E在边BC上移动． (1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有 ；(3)当 为何值时, 与平面 所成角的大小为45°.

Answer 1

(1)EF//面PAC (2)因PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA，又DA⊥AB，所以DA⊥面PAB，又DA//CB，所以CB⊥面PAB所以 ，因为AF⊥PB所以AF⊥面PBC有  (3)

试题分析：⑴当E是BC中点时，因F是PB的中点，所以EF为 的中位线， 故EF//PC，又因 面PAC， 面PAC，所以EF//面PAC     4分 ⑵证明：因PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA，又DA⊥AB，所以DA⊥面PAB， 又DA//CB，所以CB⊥面PAB，而 面PAB，所以 ， 又在等腰三角形PAB中，中线AF⊥PB，PB CB=B，所以AF⊥面PBC. 而PE 面PBC，所以无论点E在BC上何处，都有       8分 ⑶以A为原点，分别以AD、AB、AP为xyz轴建立坐标系，设 ， 则 ， ， ，设面PDE的法向量为 ， 由 ，得 ，取 ，又 ， 则由 ，得 ，解得 . 故当 时，PA与面PDE成 角         12分 点评：证明线面平行时常借助于已知的中点转化为线线平行，第三问求线面角采用空间向量的方法思路较简单，只需求出直线的方向向量与平面的法向量，代入公式即可