已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与x轴交于点C．（1
已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与x轴交于点C．（1）证明：∠ACF=∠BCF；（2）求∠ACB的最大值，并...
已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与x轴交于点C．（1）证明：∠ACF=∠BCF；（2）求∠ACB的最大值，并求∠ACB取得最大值时线段AB的长．
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证明：（Ⅰ）由题设知，F（
，0），C（-
，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x=my+
，
代入抛物线方程y2=2px，得y2-2pmy-p2=0．
y1+y2=2pm，y1y2=-p2．…（4分）
不妨设y1＞0，y2＜0，则
tan∠ACF=
=
=
=
=
，
同理可得tan∠BCF=
=
，
∴tan∠ACF=tan∠BCF，
∴∠ACF=∠BCF．…（8分）
（Ⅱ）如（Ⅰ）所设y1＞0，tan∠ACF=
≤
=1，当且仅当y1=p时取等号，
此时∠ACF取最大值
，
∴∠ACB=2∠ACF取最大值
，
并且A（
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x=my+
| p |
| 2 |
代入抛物线方程y2=2px，得y2-2pmy-p2=0．
y1+y2=2pm，y1y2=-p2．…（4分）
不妨设y1＞0，y2＜0，则
tan∠ACF=
| y1 | ||
x1+
|
| y1 | ||||
|
| 2py1 |
| y12+p2 |
| 2py1 |
| y12?y1?y2 |
| 2p |
| y1?y2 |
同理可得tan∠BCF=
| y2 | ||
x2+
|
| 2p |
| y1?y2 |
∴tan∠ACF=tan∠BCF，
∴∠ACF=∠BCF．…（8分）
（Ⅱ）如（Ⅰ）所设y1＞0，tan∠ACF=
| 2py1 |
| y12+p2 |
| 2py1 |
| 2py1 |
此时∠ACF取最大值
| π |
| 4 |
∴∠ACB=2∠ACF取最大值
| π |
| 2 |
并且A（
| p |
| 2 |
