Question

设n维列向量组α1，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，…，βm线性无关的充分必要条件为（　　

设n维列向量组α1，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，…，βm线性无关的充分必要条件为（　　）A．向量组α1，…αm可由向量组β1，…，βm线性表示B．向量组β1，…，βm可由向量组α1，…αm线性表示C．向量组α1，…αm与向量组β1，…，βm等价D．矩阵A=（α1，…αm）与矩阵B=（β1，…，βm）等价

Answer 1

用排除法
选项A为充分非必要条件．若向量组α₁，…，α_m可由向量组β₁，…，β_m线性表示，则一定可以推出向量组β₁，…，β_m线性无关，反证法：若β₁，…，β_m线性相关，则r（α₁，…，α_m）＜m，这与向量组α₁，…，α_m线性无关矛盾．反过来不成立，当m=1时，取α1＝(1，0)T，β1＝(0，1)T均为单个非零向量是线性无关的，但α₁不能用β₁线性表示．
选项B既非充分又非必要条件．如当m=1时，取α1＝(1，0)T，β1＝(0，1)T均为单个非零向量是线性无关的，但β₁不能用α₁线性表示，必要性不成立；又如α1＝(1，0)T，β1＝(0，0)T，但β₁可由α₁线性表示，但β₁并不线性无关，充分性不成立．
选项C为充分但非必要条件，若向量组α₁，…，α_m和向量组β₁，…，β_m等价，由α₁，…，α_m线性无关知，r（β₁，…，β_m）=r（α₁，…，α_m）=m，因此β₁，…，β_m线性无关，充分性成立；当m=1时，取α1＝(1，0)T，β1＝(0，1)T均为单个非零向量是线性无关的，但α₁和β₁并不等价，必要性不成立．
选项D为正确选项．事实上，矩阵A=（α₁，…，α_m）与矩阵B=（β₁，…，β_m）等价?r（A）=r（B）?r（β₁，…，β_m）=r（α₁，…，α_m）=m，因此是向量组β₁，…，β_m线性无关的充要条件．
所以选项D是正确的．
故选：D．