已知函数f(x)=-x3+x2(x<1)a?(1+lnx)x(x≥1),曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶
已知函数f(x)=-x3+x2(x<1)a?(1+lnx)x(x≥1),曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中...
已知函数f(x)=-x3+x2(x<1)a?(1+lnx)x(x≥1),曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在y轴上.如果存在,求出实数a的范围;如果不存在,说明理由.
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假设曲线y=f(x)上存在两点P、Q满足题意,则点P、Q只能在y轴两侧,
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,
∴
?
=0,
不妨设P(t,f(t))(t>0),
∵△POQ斜边的中点在y轴上,
∴Q(-t,t3+t2),且t≠1,
∵
?
=0,
∴-t2+f(t)(t3+t2)=0,①
题中所问是否存在两点P,Q满足题意等价于方程①是否有解问题.
(1)当0<t<1,即两点P,Q都在y=-x3+x2上,
∴f(t)=-t3+t2,
代入方程①,得-t2+(-t3+t2)(t3+t2)=0,
∴t4-t2+1=0,
而此方程无实数解,
∴不符合题意;
(2)当t>1时,即P在y=
上,Q在y=-x3+x2上,
∴f(t)=
,
代入方程①,得-t2+
(t3+t2)=0,
∴
=
,
设g(x)=
,
∴g′(x)=
=
,
设h(x)=x-lnx,
∴h′(x)=1-
=
(x>1),
∴h′(x)=
>0在(1,+∞)上恒成立,
∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴h(x)>h(1)=1>0,
∴g′(x)>0,
∴g(x)在(1,+∞)上也单调递增,
∴g(x)>g(1)=2,
∵
=
,
∴
>2,
∴0<a<
,
∴当0<a<
时,方程
=
有解,即方程①有解,
∴曲线y=f(x)上总存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上,此时实数a的取值范围为0<a<
.
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,
∴
OP |
OQ |
不妨设P(t,f(t))(t>0),
∵△POQ斜边的中点在y轴上,
∴Q(-t,t3+t2),且t≠1,
∵
OP |
OQ |
∴-t2+f(t)(t3+t2)=0,①
题中所问是否存在两点P,Q满足题意等价于方程①是否有解问题.
(1)当0<t<1,即两点P,Q都在y=-x3+x2上,
∴f(t)=-t3+t2,
代入方程①,得-t2+(-t3+t2)(t3+t2)=0,
∴t4-t2+1=0,
而此方程无实数解,
∴不符合题意;
(2)当t>1时,即P在y=
a(1+lnx) |
x |
∴f(t)=
a(1+lnt) |
t |
代入方程①,得-t2+
a(1+lnt) |
t |
∴
1 |
a |
(1+t)(1+lnt) |
t |
设g(x)=
(1+x)(1+lnx) |
x |
∴g′(x)=
[(1+x)(1+lnx)]′?x-(1+x)(1+lnx) |
x2 |
x-lnx |
x2 |
设h(x)=x-lnx,
∴h′(x)=1-
1 |
x |
x-1 |
x |
∴h′(x)=
x-1 |
x |
∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴h(x)>h(1)=1>0,
∴g′(x)>0,
∴g(x)在(1,+∞)上也单调递增,
∴g(x)>g(1)=2,
∵
1 |
a |
(1+t)(1+lnt) |
t |
∴
1 |
a |
∴0<a<
1 |
2 |
∴当0<a<
1 |
2 |
1 |
a |
(1+t)(1+lnt) |
t |
∴曲线y=f(x)上总存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上,此时实数a的取值范围为0<a<
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