Question

一道初三数学较难题

如图，二次函数y=1/2x^2+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。
1）求直线AC的解析式
2）设三角形PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式
3）在y轴上找一点M，使三角形MAC和三角形MBC都是等腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标
4）过点P作PE垂直AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。

这道题前三问我会，主要是第四问，求详细答一下第四问。具体我有了点思路，请把0≤X＜2，和2＜X＜4的情况答一下，谢谢。

Answer 1

题目有错，抛物线开口向下，a<0的，二次函数应该是y= - 1/2x^2+2
1.设y=kx+b，求A、C点的坐标，并代入上式
当x=0时，y=2，C（0,2）
当y=0时，x=2或-2，A(-2,0)
代入后，解得y=x+2
2.用三角形PQC的面积=QC*PO*1/2
s=1/2*l 2-t l*t
当 2-t >0，即0≤t<2时，s= -1/2t^2+t
当 2-t <0，即2<t≤4时，s= 1/2t^2-t
当 2-t =0，即t=2时，s=0
不好意思，没有看到下面、
（4）不变
作QF垂直于AC于F，得QF=PE=2^0.5/2t，得PEG全等于QFG，得EG=FG=GC+CF=GC+AE，
所以，EG=1/2AC=2^0.5。

Answer 2

证明两边相等，无非就是两种方法，一是找边与边的关系，另一种是找对角相等。
由图，因为EF=0.5BC，BC=AD
则既是证EP=0.5AD
即可知只要证出<AED=90度即可
因为AC=2AB，则AO=AB，即E为等边三角形底边中点，得AE垂直于BO，即得证。