Question

数列{an}中,a1=2,且满足点(an,a(n+1）)在函数f(x)=x^2+2x的图像上（n∈N*)

（1）求证数列｛lg(1+an)}是等比数列
（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项
（3）bn=2*(1/an-1/(a(n+1))）（n∈N*),Sn=b1+b2+…bn（n∈N*),求Sn，并证明：Sn+2/(3*Tn-1)=1

Answer 1

由点(an,a(n+1）)在函数f(x)=x^2+2x的图像上，得
a(n+1)=an^2+2an
a(n+1)+1=an^2+2an+1
a(n+1)+1=(an+1)^2
lg[a(n+1)+1]=lg[(an+1)^2]=2lg(an+1)
所以数列｛lg(1+an)}是等比数列，首项为lg3，公比为2.
lg(1+an)=(lg3)x2^(n-1)
an=10^[(lg3)x2^(n-1)]-1=3^[2^(n-1)]-1
Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)
lgTn=lg(1+a1)+lg(1+a2)+...+lg(1+an)
=(lg3)x2^0+(lg3)x2^1+(lg3)x2^2+...+(lg3)x2^(n-1)
=(lg3)x(2^n-1)
Tn=10^[(lg3)x(2^n-1)]=3^(2^n-1)

Sn=b1+b2+…bn
=(2/a1-2/a2)+(2/a2-2/a3)+...+(2/an-2/a(n+1))
=2/a1-2/a(n+1)
=2/2-2/[3^(2^n)-1]
=1-2/[3^(2^n)-1]
Sn+2/(3*Tn-1)=1-2/[3^(2^n)-1]+2/[3x3^(2^n-1)-1]
=1-2/[3^(2^n)-1]+2/[3^(2^n)-1]
=1

证明结束

Answer 2

1.代入，得an2+2an=a(n+1)。两边都加上1，得(an+1)^2=a(n+1)+1
两边同时取对数，lg[a(n+1)+1]=lg(an+1)^2=2(an+1)，即lg[a(n+1)+1]/lg(an+1)=2
，a1=2，所以是首项为lg3公比为2的等比数列，lg(an+1)=lg3*2^(n-1)
2.lgTn=lg(1+a1)+lg(1+a2)…+lg(an+1)=上题等比数列的前N项和=lg3(1-2^n)/1-2=lg3(2^n-1)
所以Tn=3^(2^n-1)
3.由1，得an=[3^2^(n-1)]-1，所以a(n+1)=3^2^n-1。Sn=2*（1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+……+1/an-1/(a(n+1))）=2*[1/a1-1/a(n+1)]=2*(1/2-1/(3^2^n-1)=1-2/[(3^2^n)-1]_
带入到所要证明的式子中即可

Answer 3

你好
由题 得a(n+1)=a(n)^2+2a(n)
lg(1+a(n+1))/lg(1+an)=lg(1+a(n)^2+2a(n))/lg(1+an)=2
所以数列｛lg(1+an)}是等比数列，且公比是2
（2）由（1）得lg(1+an)=lg3*2^(n-1),得1+an=3^(2^(n-1)),,an=3^(2^(n-1))-1
Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=3^(0)*3^(2)*...*3^(2^(n-1))=3^((2^n)-1)
(3)明天给出吧~~

Answer 4

1