Question

如图所示，三次函数f(x)=x^3+ax^2+x在区间[-1,1]上有极大值和极小值，求实数a的取值范围

要详细的解题步骤！！！

Answer 1

分析
属于已知三次函数在闭区间上有极大值和极小值求参数范围。即已知三次函数在闭区间上有两个驻点求参数范围。
由于函数的驻点是导函数的零点，而三次函数的导函数是二次函数(喜不自禁，二次函数的问题我们是全解决了的)。
问题等价于f(x)的导函数在闭区间上有两个零点。转化为二次函数f’(x)在闭区间上的零点分布问题。用数形结合法，即用“三个二”的关系（详见本空间BLOG二次函数salon）.
抛物线y=f’(x)开口向上，如图（思考草图）。要使y=f’(x)在闭区间上有两个零点，必需同时满足：
①对称轴在区间内；
②顶点纵坐标小于0；
③区间端点函数值都大于0。
列关于参数a的不等式组，解之即得。
解答
f’(x)=3x^2+2ax+1=3(x+a/3)^3+1-a^2/3。
-1<-a/3<1且1-a^2/3<0且f’(1)>0且f’(-1)>0.
-3<a<3且（a<-√3或a>√3）且a>-2且a<2.
所以，实数a的取值范围-2<a<-√3或√3< a<2.
注：原图有问题。方程f'(x)=0两根之积1>0,两极值点同号。

追问

是不是还的求判别式 的范围 这题答案上有 就是太简捷了 没看懂 你回答的很好 这分肯定给你