Question

平面几何超难题

如图所示。已知椭圆的焦点为F，准线为l。PA、PB是椭圆的两条切线。PF、AB交于点R，过R作RQ∥长轴，交准线l于点Q。连接AQ，BQ。
求证：RQ平分角AQB

Answer 1

取左焦点F1  F标记成F2

作AA1⊥l于A1  BB1⊥l于B1 作F1关于PA的对称点X ，F1关于PB的对称点Y，如图连接各线段

通过椭圆的光学性质：X，A，F2共线；Y，B，F2共线。

利用如下关系：XF2=XA+AF2=AF1+AF2=椭圆长轴（这里利用对称性质，XA=AF1） 

同理YF2=YB+BF2=BF1+BF2=椭圆长轴

所以XF2=YF2

再有对称性，PX=PF1=PY 根据全等 △PX2全等于△PYX2 所以F2P平分角AF2B

由角平分线定理：A1Q：B1Q=AR：RB=AF2：BF2=（AA1*e）：（BB1*e）=AA1：BB1

即∠AQA1=∠BQB1 两边用90°减  就得到QR是∠AQB的平分线

Answer 2

过A、B分别作长轴平行线交准线于A1、B1 

B1Q：A1Q=RB：RA（平行线截线段成比例）

=FB：FA（FR平分∠AFB，图中结论）

=BB1：AA1 

且∠BB1Q=∠AA1Q=90度

所以△BQB1∽△AQA1 

所以∠B1BQ=∠A1AQ（相似三角形对应角相等）

∠AQR=∠B1BQ=∠A1AQ=∠BQR（平行线内错角相等）

图片来源：

《圆锥曲线的几何性质》 通俗数学名著译丛  上海教育出版社

Answer 3

可以画坐标，用余弦定理算吧

Answer 4

连接OA、OB
出这题的人精神有问题

追问

连接OA，OB以后怎么证？