Question

已知：如图，在?ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．（1）

已知：如图，在?ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．（1）求证：AE⊥DF；（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．

Answer 1

（1）证明：在?ABCD中AB ∥ CD， ∴∠ADC+∠DAB=180°． ∵DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线， ∴∠ADF=∠CDF= 1 2 ∠ADC，∠DAE=∠BAE= 1 2 ∠DAB， ∴∠ADF+∠DAE= 1 2 （∠ADC+∠DAB）=90°， ∴∠AGD=90°， ∴AE⊥DF； （2）过点D作DH ∥ AE，交BC的延长线于点H， 则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH． ∴DH=AE=4，EH=AD=10． 在?ABCD中AD ∥ BC， ∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA． ∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA． ∴DC=FC，AB=EB． 在?ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6， ∴CF=BE=6，BF=BC-CF=10-6=4． ∴FE=BE-BF=6-4=2， ∴FH=FE+EH=12， 在Rt△FDH中，DF= FH 2 - DH 2 = 12 2 - 4 2 =8 2 ． 答：DF的长是8 2 ．