Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF． 小题1:求证：DE是⊙O的切线；小题2:若AB=6，BD=3，求AE和BC的长．

Answer 1

小题1:见解析 小题2:AE＝  BC=3

（1）连接OC．                   ∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE=CF ∴∠1＝∠2                          ∵OA=OC ∴∠2＝∠3                                      ∴∠1＝∠3 ∴OC∥AE ∴OC⊥CD ∴DE是⊙O的切线．                  （2）∵AB=6， ∴OB=OC= AB=3． 在Rt△OCD中，OC=3，OD=OB+BD=6， ∴∠D＝30°，∠COD＝60°．      在Rt△ADE中，AD=AB+BD=9， ∴AE＝ AD= ． 在△OBC中，∵∠COD＝60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形． ∴BC=OB=3．