Question

已知正数x，y满足 x+y+ 1 x + 9 y =10 ，则x+y的最大值为______

已知正数x，y满足 x+y+ 1 x + 9 y =10 ，则x+y的最大值为______．

Answer 1

因为 x+y+ 1 x + 9 y =10 ， 所以 (x+y)(x+y+ 1 x + 9 y )=10(x+y) 即 (x+y ) 2 + x+y x  + 9(x+y) y =10(x+y) ， 化简得 (x+y ) 2 + y x + 9x y +10=10(x+y)             (1) 因为 y x + 9x y ≥2 y x ? 9x y =6 ，（当且仅当 y=3x 时 取等号） 所以 （1）式化为（x+y） 2 +6+10≤10（x+y） 即（x+y） 2 -10（x+y）+16≤0 解得2≤x+y≤8， 由 y=3x x+y=8 ，解得 x=2 y=6 所以 当x=2，y=6时，x+y的最大值为8