Question

已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实根，第三边BC的长是5．

已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实根，第三边BC的长是5．（1）当k=2时，△ABC是什么特殊的三角形？（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出周长．

Answer 1

（1）当k=2时，x²-（2k+3）+k²+3k+2=0为：x²-7x+12=0，
则（x-3）（x-4）=0，
解得：x₁=3，x₂=4，
∵3²+4²=5²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵△ABC是等腰三角形；
∴当AB=AC时，△=b²-4ac=0，
∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0
解得k不存在；
当AB=BC时，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k²+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6，
∴△ABC的周长为14或16．